数学不只是成绩、考试,和刷题套路

数学不只是成绩、考试,和刷题套路

当你真正掌握了数字,你实际上读的就不再是数字本身,这就如同你在阅读书籍时,所阅读的也不再是单纯的文字,而是文字背后的意义。 —— 哈罗德·杰宁,《管理》

在大学本科阶段学习数学时,学生往往过分注重成绩和考试。这些考试一般更强调技巧和理论的记忆,而非实际的概念理解,亦非智力或直觉的思考。当然,这样做也有一定道理:在真正进入数学领域之前,必须经过理论和技巧的训练,就像学习乐器之前必须进行一定量的基本功练习一样。无论你的数学天赋和直觉有多高,如果你不会计算多重积分、不能熟练地做矩阵初等行变换、无法理解抽象定义,或者不会用数学归纳法证明,学习高等数学就很难有效率。

然而在进入研究生阶段时,你会发现数学的学习和实践进入了一个更高的层次。不仅是记忆、学习,或重复已有的推导与范例,这一层次更加倚重你的智力和独立思考能力。意味着你必须摒弃(或至少修正)许多本科阶段形成的学习习惯。你需要更主动地自学和探索,来提升对数学的真正理解,而不单是专注于考试这种人为设定的衡量标准。

同时,你也不应该过度关注自己定下的一些标准,而忽略对数学本质的真正学习。例如记住了多少定理和证明,或者做资格考试题目的速度有多快。否则你可能陷入「古德哈特定律」的陷阱。这些指标虽然可大致评估你对某一领域的理解程度,但绝不应成为学习的主要目标。

而在本科和更基础的阶段,你学习的大多是一些非常成熟且完善的数学理论。这些理论通常早在几十甚至几百年前就已经建立起来了。到了研究生阶段,你会开始接触到数学中前沿的、「鲜活」的部分。这些内容或许与你本科时所熟悉的大不相同,也更加有趣。但是你不能跳过本科的数学学习,毕竟你得先学会走才能开始跑。

另见:「数学不只是严谨与证明」。

我也推荐Keith Devlin的观点文章:《学数学你必须死记硬背,而其他科目可以善用思考》。(注意:这篇文章的标题恰恰与Devlin及我的观点相反,具体解释请参阅原文。)