数学不只是成绩、考试，和刷题套路

原文：There’s more to mathematics than grades and exams and methods | What's new

当你真正掌握了数字，你实际上读的就不再是数字本身，这就如同你在阅读书籍时，所阅读的也不再是单纯的文字，而是文字背后的意义。—— 哈罗德·杰宁，《管理》

在大学本科阶段学习数学时，学生往往过分注重成绩和考试。这些考试一般更强调技巧和理论的记忆，而非实际的概念理解，亦非智力或直觉的思考。当然，这样做也有一定道理：在真正进入数学领域之前，必须经过理论和技巧的训练，就像学习乐器之前必须进行一定量的基本功练习一样。无论你的数学天赋和直觉有多高，如果你不会计算多重积分、不能熟练地做矩阵初等行变换、无法理解抽象定义，或者不会用数学归纳法证明，学习高等数学就很难有效率。

然而在进入研究生阶段时，你会发现数学的学习（以及更重要的，实践）进入了一个更高的层次。不仅是记忆、学习，或重复已有的推导与范例，这一层次更加倚重你的智力和独立思考能力。意味着你必须摒弃（或至少修正）许多本科阶段形成的学习习惯。你需要更主动地自学和探索，来提升对数学的真正理解，而不单是专注于考试这种人为设定的衡量标准。

同时，你也不应该过度关注自己定下的一些标准，而忽略对数学本质的真正学习。例如记住了多少定理和证明，或者做资格考试题目的速度有多快。否则你可能陷入「古德哈特定律」的陷阱。这些指标虽然可大致评估你对某一领域的理解程度，但绝不应成为学习的主要目标。

而在本科和更基础的阶段，你学习的大多是一些非常成熟且完善的数学理论。这些理论通常早在几十甚至几百年前就已经建立起来了。到了研究生阶段，你会开始接触到数学中前沿的、「鲜活」的部分。这些内容或许与你本科时所熟悉的大不相同，也更加有趣。但是你不能跳过本科的数学学习，毕竟你得先学会走才能开始跑。

另见：「数学不只是严谨与证明」。

我也推荐 Keith Devlin 的观点文章：《学数学你必须死记硬背，而其他科目可以善用思考》。（注意：这篇文章的标题恰恰与 Devlin 及我的观点相反，具体解释请参阅原文。）